Formas cuadráticas unitarias de tipo An: un enfoque combinatorio

Los diagramas de Dynkin aparecen en distintas ramas del álgebra, por ejemplo, en formas cuadráticas la clasificación de formas unitarias positivas se hace a través de diagramas de Dynkin. Los diagramas de Dynkin, en álgebras de Lie, se asocian a los sistemas de raíces abstractos; en teoría de representaciones de álgebras, hacen su aparición en la clasificación de módulos inescindibles sobre álgebras de dimensión finita. En este trabajo se estudian los diagramas de Dynkin como gráficas asociadas a formas cuadráticas. A toda forma cuadrática de coeficientes enteros se le asocia una multigráfica donde los vértices representan variables y las aristas representan monomios. Esta representación ha sido parte fundamental en clasificación de las formas unitarias positivas y más recientemente fue de granutilidad para obtener una caracterización que permite construir cualquier forma positiva de tipo An. En este trabajo se reinterpreta dicha caracterización en un contexto puramente combinatorio utilizando propiedades de conexidad, coloreo de gráficas y recorrido en profundidad; además, se ofrecen criterios computacionalmente eficientes.

The Dynkin diagrams appear in different branches of algebra, for example, the classification of positive quadratic unit forms is made through Dynkin diagrams. Dynkin diagrams in Lie algebras are associated with abstract root systems and in representation theory of algebra make their appearance in the classification of non-split modules over finite dimensional algebras. In this paper Dynkin diagramsare studied as graphs associated quadratic forms. Aquadratic form with integer coefficients is assigned a multigraph where the vertices represent variables and edges represent monomials. This representation has been a fundamental part in the classification of positive unit forms and more recently wasvery useful in obtaining a characterization for constructing any positive form of type An. In this paper this characterization is reinterpreted in a purely combinatorial context using properties of connectivity, coloring of graphs and depth-first traversal; also, a computationally efficient criteria is given.